Приведено содержание без формул. Полный текст в Файле.

Неопределенные интегралы.

Ну кто их любит??? А им нет дела до этого, они как были, так
и будут.

Таблица основных
интегралов.

Эта таблица как алфавит, поэтому рекомендую, по крайней
мере, держать ее перед  глазами при
взятии интегралов. Любой самый навороченный интеграл, в итоге сводится к одному
или нескольким интегралам из этой таблички.

Еще не обойтись без знания свойств неопределенного интеграла.
Эти три свойства держите вместе с табличкой интегралов. Это значительно
облегчит Вам весь процесс.

Проверка.

В результате получили подынтегральное выражение, значит,  интеграл взят правильно.

      Основные методы
интегрирования.

             Непосредственное
интегрирование (интегрирование с использованием свойств интегралов и
таблицы основных интегралов).
Обычно, подынтегральное выражение сначала слегка нужно преобразовать, чтобы
можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.

2)     Подведение
под знак дифференциала.
Понятие дифференциала неотделимо от понятия производной. Их связь задается
выражением
. Здесь
 - дифференциал
функции
.
Прежде чем излагать суть метода, разместите перед  глазами еще и таблицу основных производных.

Мы ее только перепишем в виде дифференциалов                                                


Это даст Вам видение всего процесса.
Суть метода.
Если подынтегральную функцию получится представить в виде
 и
, то
.
Скорее рассмотрим пример, чтобы хоть что-то стало понятным.

Пример.

Найти интеграл
.
Решение.
По таблице основных производных видим
 , а по таблице
основных интегралов видим
. От этого и будем плясать!

Вся сложность подобных заданий заключается в том, чтобы определить к какому
стандартному интегралу все сводится и какое выражение подводить под знак
дифференциала. Вот здесь то и нужны все таблицы перед глазами.

Иногда приходится добавлять коэффициенты, чтобы подвести выражение под знак
дифференциала.

Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
По таблице основных производных видим
 , а по таблице
основных интегралов видим
.

Часто подынтегральную функцию сначала нужно преобразовать, затем уже выполнять
подведение под знак дифференциала.

Пример.
Найти интеграл
.
Решение.

3)    Интегрирование
по частям.
Суть метода.

Если выражение под знаком интеграла представляется в виде
, причем достаточно просто находятся
 и
, тогда
, а интеграл
 либо табличный,
либо может потребоваться применение какого-либо другого метода для его
нахождения (может быть его тоже нужно брать интегрированием по частям).

Пример.
Найти интеграл
Решение.

Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, что брать за
, а что за
.
Вот несколько стандартных рекомендаций.
Рекомендации.
а) Для интегралов вида
,
 или
, где
 - многочлен
степени n, a – число,
в качестве функции
выбираем
многочлен
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.

Пример.

Найти интеграл

Решение.
Пример.

Найти интеграл
.
Решение.
б) Для интегралов вида
,
 или
, в качестве функции
 выбираем
функции
,
  или
 соответственно.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
                                            (фрагмент
№1

                                               (Фрагмент
№2)

То есть, решая исходную задачу мы пришли к равенству:
Назовем последнее равенство Фрагмент №3.
Осталось выяснить, чему равен интегра
.
Для этого используем фрагмент №1 и фрагмент №2. Запишем это равенство двух
фрагментов:
Если привести подобные слагаемые, то получим
Подставив найденное выражение в Фрагмент №3 получим:
Ну как Вам решение???
Да я и сам обалделJ.
Вот такие они, арксинусы и арккосинусы…
в) Для интегралов вида
 или
 в качестве
функции
  выбираем любую
из функций.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
Что мы имеем в итоге:
Приводим подобные и получаем:
Это стандартный метод для таких задач.
В других случаях, что брать за
, а что за
 выявляется
методом проб и ошибокJ.

4)    Метод
подстановки.
Суть метода.
Суть метода заключается в том, что какую-либо часть подынтегральной функции мы
обозначаем другой переменной, и оставшуюся часть подынтегральной функции
выражаем через эту переменную. В результате получаем интеграл намного проще
исходного.
Обычно метод подстановки используют когда подынтегральная функция содержит
корни (могут быть корни кубические, четвертой степени и т.д.), то замена их на
другую переменную частенько облегчает жизнь.

Для интегралов вида
 в зависимости
от чисел
 и
 используют
следующие подстановки:
а) если
 - целое число,
то используют подстановку
 и выражают все
через
, где
 - общий
знаменатель чисел
 и
,
б) если
 - целое число,
то используют подстановку
, где
 - знаменатель
числа
,
в) если
 - целое число,
то используют подстановку
, где
 - знаменатель
числа
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.

5)      Интегрирование
дробно рациональной функции.
Суть метода.
Дробно рациональную функцию сначала раскладываем на простейшие дроби, а затем
берем интегралы от простейших дробей.
Рекомендую сначала разобраться в разложении рациональной дроби на простейшие
дроби в соответствующем разделе теории, так как здесь не будем подробно
расписывать процесс разложения.
Пример.
Найти интегра
.
Решение.
Так как весь метод сводится к интегрированию простейших дробей, то рассмотрим
интегрирование простейших дробей первого, второго и третьего типов.
(Интегрировать дроби четвертого типа Вам скорее всего не придется).

а) Дроби первого типа
.
б) Дроби второго типа
.
в) Дроби третьего типа
Пример.
Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили.

Таким же способом ищутся интегралы вида

Использование
реккурентных формул.

Если нужно взять интеграл  примерно следующего вида:

, то это глава для Вас.

Сначала парочка интегралов, которые можно дописать в таблицу основных интегралов.

а) Пусть
, тогда
.Пример.

Найти интеграл
.
Решение.
б) Пусть
, тогда
.
в) Пусть
, тогда
.
г) Пусть

, тогда

.
Пример.

Найти интеграл
.
Решение.



Приведено содержание без формул. Полный текст в Файле.