Гидростатика

3.1. Гидростатическое давление

Гидростатика изучает теорию равновесия и относительного покоя жидкостей и газов. Исходным пунктом условий равновесия является изучение сил, действующих на некоторый объем жидкости.

Силы, приложенные к частицам сплошных сред могут быть классифицированы по своей природе или по характеру действия на массовые (объемные) и поверхностные.

В зависимости от области приложения силы подразделяются на внутренние и внешние.

Массовые (объемные) силы пропорциональны массе выделенного объема и действуют на все частицы этого объема. К массовым силам могут быть отнесены силы различного физического происхождения: силы веса, электромагнитные (силы Лоренца, электростатические и силы, действующие на магнитные жидкости) и различные силы инерции (кориолисова сила, центробежная и др.). Это силы дальнодействия.

Поверхностные силы действуют локально на поверхность выделенного объема. В общем случае поверхностные силы могут иметь составляющие, направленные по нормам и по касательной к площадке действия.

В покоящейся жидкости поверхностные силы направлены по нормали поверхности выделенного объема жидкости. В движущейся жидкости дополнительно возникают касательные составляющие поверхностных сил, наиболее важными из которых являются силы трения.

В некотором объеме распределение массовых сил задается вектором плотности массовых сил , приложенных к частицам этого объема массовой  при ее стремлении к нулю, т. е.

                                     (2.1)

Осредненное значение вектора плотности массовых сил равно отношению главного вектора массовых сил к величине массы

                                       (2.2)

Размерность плотности массовой силы совпадает с размерностью ускорения

                        (2.3)

Величина поверхностной силы в общем случае зависит от выбора направления элементарной площадки, поэтому обычно рассматривается не сами, а их напряжения

                                         (2.4)

где  главный вектор поверхностных сил, приложенных к площадке .

Размерность напряжений

                       (2.5)

В практике используется единица измерения называемая технической атмосферой, которая равна 1 т. а. = 1 кг с/см² = 736 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. = 10⁵ Па.

Отметим, что величина 1 Па = 1 бар = 10^{-5 кг с/см2} = 0,1 мм вод. ст.

Рассмотрим равновесие элементарного жидкого объема под действием поверхностных и объемных сил.

Выделим в жидкости элементарный тетраэдр с ребрами (рис.2.2).

Рис. 2.1. Силы, действующие на элементарный тетраэдр

Обозначим площадки действия элементарных сил соответственно 

Поверхностные силы элементарного тетраэдра пропорциональны второй степени от размеров тетраэдра, а объемные – третьей и являются величинами третьего порядка малости, тогда как поверхностные имеют второй порядок.

Выделение одной из поверхностей жидкости (рис.2.3) показывает, что в покоящейся жидкости касательная составляющая  и полная величина напряжения или элементарной поверхностной силы равна .

Рис.2.2. Силы, действующие на площадку в жидкости

Для равновесия выделенного объема необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на координатные оси была равна нулю:;;                                (2.6,

где - орт нормали к наклонной грани.

Относя величины элементарных сил к площади граней, на которые они действуют, получим;;                       (2.7)

Поскольку , ,  являются проекциями наклонной грани на плоскость , то      (2.8)

Подстановка позволяет записать                                              или .              (2.9)

Этот вывод носит название закона Паскаля и гласит, что давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Иначе, давление в жидкости, определенное в заданной точке, не зависит от ориентации площадки действия и является функцией только координат   (2.10)

Рассмотрим равновесие элементарного прямоугольного параллелепипеда со сторонами , выделенного в покоящейся жидкости.

На единицу массы жидкости действует массовая сила плотностью  с составляющими . Если от начала координат величина давления является возрастающей функцией координат, а в точке параллелепипеда  действует давление , то на соответствующих противоположных гранях давления равны;;.                           (2.11)

Уравнение равновесия в проекции на ось   (2.12)

или.                                             (2.13)

Аналогично, в проекциях на оси координат  и  получим;                                            (2.14)

                                 (2.30)

где - глубина погружения под свободную поверхность, направленная против направления оси .

Закон гидростатики, следовательно, гласит: давление в любой точке жидкости, находящейся в покое, равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки и с площадью основания, равной единице.

Примером использования основного закона гидростатики является работа сообщающихся сосудов (рис. 2.5.)

Давление в плоскости 0-0 следует считать одинаковым из условия сохранения равновесия жидкости, поэтому

3.2. Равновесие весомого газа

При больших высотах столба газа величина плотности зависит от высоты. Записав уравнение (2.33)

введем связь между давлением  и плотностью . Эта зависимость дается, например законом Бойля-Мариотта, верным при постоянной температуре. По этому закону.                                        (2.34) 

Рис. 2.4. Сообщающиеся сосуды

 .                                    (2.37)

3.3. Равновесие жидкости

при наличии негравитационных массовых сил

Рассмотрим действие силы инерции (рис.2.6) при движении сосуда с ускорением.

Рис. 2.5. Движение сосуда

Рис. 2.6. Вращающийся сосуд

Уравнение равновесия имеет вид                      (2.44)

при  и  получим , поэтому

Поэтому гидростатическое давление равно                          (2.45)

и уравнение поверхностей уровня                                      (2.46)

Это параболоид вращения.

3.4. Силы давления жидкости на твердые поверхности

При определении сил давления покоящейся жидкости и газа на твердую поверхность (стенку) следует рассматривать следующие случаи:

1) равномерное давление на плоскую поверх­ность (может быть создано газом, если весовая часть давления пренебрежимо мала при любой ори­ентации плоской стенки, или тяжелой жидкостью при горизонтальном расположении поверхности). Сила давления вычис

3.5. Два вида тела давления

 Если тело давления заполнено жидкостью (рис.2.11, а), то сила  направлена вниз, в против­ном случае - вверх (рис.2.11, б).

Рис.2.10. два вида тела давления

Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью погружена в жидкость, то на нее дейст­вует направленная вертикально вверх сила, равная весу жидкости в объеме, ограниченном поверхно­стью S (закон Архимеда). Линия действия архимедо­вой силы проходит через центр массы этого объема.

Весь текст с формулами в архиве